\chapter{Einf"uhrung}
Eine relativistische Quantenfeldtheorie ist
\begin{itemize}
\item eine Vereinigung von Quantenmechanik und spezieller
Relativit"atstheorie,
\item eine Erweiterung der Quantenmechanik auf unendlich viele
Freiheitsgrade,
\item eine geeignete Sprache zur Beschreibung von Elementarteilchen,
\item eine der umfangreichsten und komplexesten Theorien der Physik,
\item einem st"andigen Wandel unterworfen.
\end{itemize} In der Festk"orperphysik spielen nichtrelativistische
Quantenfeldtheorien bei der Behandlung von Elementaranregungen und deren
Wechselwirkungen eine zunehmend wichtige Rolle. Bekannte Beispiele sind
die Elektron-Phonon Wechselwirkung oder die Spin-Wechselwirkungen, die
f"ur ein Verst"andnis des Magnetismus wichtig sind.  In dieser Vorlesung
werden wir uns (bis auf das Kapitel "uber Spinmodelle) vorwiegend mit
relativistischen Quantenfeldtheorien besch"aftigen.

Die elementare Quantenmechanik beschreibt eine feste Anzahl Teilchen,
zum Beispiel in einem "au"seren elektromagnetischen Feld.  Die
Quantenfeldtheorie (QFT) geht dagegen vom Wellencharakter der Materie
aus.  Korpuskulare Aspekte wie Teilchenerzeugung oder
Vernichtung werden in einem zweiten Schritt durch eine
\glqq Quantisierung\grqq\  der entsprechenden klassischen Feldtheorien eingef"uhrt.
Man spricht dann von \emph{Feldquantisierung}
\index{Feldquantisierung} oder etwas irref"uhrend von
\emph{zweiter Quantisierung}\footnote{Dieser Begriff geht auf P. Jordan
zur"uck.}\index{Quantisierung!zweite}. Schon im Artikel von \textsc{M. Born}
und \textsc{P. Jordan}
\cite{born25} wird die Quantisierung des elektromagnetischen
Feldes skizziert. In der anschlie"senden bahnbrechenden
'Drei-M"anner-Arbeit' von \textsc{Born, Heisenberg} und \textsc{Jordan}
\cite{born26} wurde die Quantisierung eines Systems mit einer 
beliebigen Anzahl Freiheitsgrade ausgearbeitet.
 

Die Quantenfeldtheorie wurde zur Beschreibung von Elementarteilchen und
deren Wechselwirkungen entwickelt, und zuerst auf die Wechselwirkung der
Photonen mit Atomen angewandt. In seinen Arbeiten legte
\textsc{P. Dirac} das Fundament zur
Quantenelektrodynamik\index{Quantenelektrodynamik} (QED)
\cite{dirac27}. Er studierte darin das Strahlungsfeld $A_\mu(x)$ und
seine Kopplung an ein Atom. Indem er das Strahlungsfeld nicht mehr
klassisch (im Maxwellschen Sinne) sondern als operatorwertiges Feld (durch
\glqq Quantisierung\grqq\  der Koeffizienten in der Fourierentwicklung von
$A_\mu(x)$) auffasste, gelang ihm
eine �berwindung der semiklassischen Beschreibung der quantenhaften
Emission und Absorption von Photonen bei Strahlungs"uberg"angen. Damit
verband er die Quantenmechanik von \textsc{Heisenberg} und
\textsc{Schr"odinger} mit der Quantentheorie der Strahlung im Sinne von
\textsc{Planck} oder \textsc{Einstein}.  Die Materie wurde dabei
allerdings noch im Teilchenbild behandelt.  Die vollst"andige und mit der
speziellen Relativit"atstheorie vertr"agliche Quantisierung der
Elektrodynamik gelang \textsc{P. Jordan, W. Pauli} und
\textsc{W. Heisenberg} \cite{jordan28}.  Hierin wurden die
wechselwirkenden Dirac- und Maxwellfelder
quantisiert.  In ihrer Arbeit von 1929 f"uhrten \textsc{Heisenberg} und
\textsc{Pauli} die Lagrangefunktion f"ur Felder ein, sprechen
von kanonisch konjugierten Variablen und benutzten eine
Quantisierungsvorschrift, die wir heute \emph{kanonisch} nennen. Die
Feldgleichungen folgten nun aus einem Wirkungsprinzip. Dieser Zugang zur
Feldtheorie hat sich durchgesetzt und gilt auch heute noch als das
Verfahren zur Konstruktion von Feldtheorien. Die Probleme mit der
Einteilcheninterpretation des quantisierten Klein-Gordon-Feldes
wurde einige Jahre sp"ater von \textsc{Pauli} und
\textsc{Weisskopf} gel"ost \cite{pauli34}.


In Quantenfeldtheorien werden zun"achst die freien, nichtwechselwirkenden
Felder einer Teilchensorte quantisiert und die Wechselwirkung der als
punktf"ormig angenommenen Teilchen danach durch eine lokale, d.h. in
jedem Raumzeitpunkt als Produkt der wechselwirkenden Felder oder deren
Ableitungen definierte Wechselwirkungsdichte eingef"uhrt. Dieses Vorgehen
f"uhrt jedoch bei einer direkten Berechnung zu divergenten Ausdr"ucken f"ur
physikalische Gr"o"sen, zum Beispiel zu unendlich gro"sen Selbstenergien.
Dieses Problem f"uhrte auf das Renormierungsverfahren, dessen Ursprung
bereits in den Untersuchungen von
\textsc{Dirac, Heisenberg, Weisskopf, Pauli, Fierz} und \textsc{Kramers}
zu finden ist und in den bekannten Arbeiten von \textsc{Tomonaga,
Schwinger, Feynman} und \textsc{Dyson} nach dem zweiten Weltkrieg im
Wesentlichen vollendet wurde. F"ur so-genannte renormierbare
Quantenfeldtheorien gibt es ein konsistentes Verfahren, bestehend aus
einer Regularisierung und anschlie"senden Renormierung der Felder und
Kopplungskonstanten, so dass die Theorien nach Festlegung von wenigen
physikalischen Parametern (Massen und Kopplungsst"arken)
in jeder Ordnung der St"orungstheorie Vorhersagen f"ur alle weiteren
Gr"o"sen machen.

Die QED ist das einfachste und am besten studierte Modell einer
renormierbaren Quantenfeldtheorie.  Hier tritt die elektromagnetische
Wechselwirkung in reiner Form in Erscheinung. Die beispiellose
Genauigkeit der Berechnungen der QED basieren auf dem Gebrauch der
St"orungstheorie\index{St"orungstheorie}. Dabei dient die dimensionslose
Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante $\al=e^2/\hbar c\sim
1/137$ als Entwicklungsparameter.  Am weitesten wurde die Berechnung des
magnetischen Moments des Elektrons vorangetrieben, f"ur das die Glieder
der Ordnungen $\al,\al^2,\al^3$ und $\al^4$ bestimmt wurden. Die
Rechnungen stimmen bis zur zehnten Stelle hinter dem Komma mit den
experimentellen Werten "uberein.

Neben der weiteren Entwicklung von Rechentechniken im Rahmen der
St"orungstheorie waren die Jahre zwischen 1930 und 1960 dem formalen
Ausbau der Feldtheorie gewidmet. Der Zusammenhang zwischen Spin und
Statistik wurde entdeckt, das CPT-Theorem fand seine erste Formulierung
und die Darstellungstheorie der (Anti)-Vertauschungregeln wurde
entwickelt. Symmetrieprinzipien traten zunehmend in den
Vordergrund. Gerade im Rahmen der QED wurden viele fundamentale Begriffe
und Gesetzm"a"sigkeiten der Quantenfeldtheorien entdeckt und formuliert.


In Verallgemeinerung ihres Vorbilds wurden die komplizierteren Theorien
der starken und schwachen Wechselwirkung und auch die Modelle der gro"sen
Vereinheitlichung (GUTS) konstruiert. Die letzten Jahrzehnte waren
gepr"agt von unseren Bem"uhungen, das allgemeine Grundkonzept aus
den Gr"underjahren 1927-29 auf diese so-genannten \emph{Eichtheorien} zu
erweitern. Zuerst schien es, als ob die in der QED so erfolgreiche
St"orungstheorie auf die anderen Wechselwirkungen nicht anwendbar
sei. Die schwache Wechselwirkung, die zum Beispiel f"ur den radioaktiven
Beta-Zerfall verantwortlich ist, schien zu schwach zu sein als dass
h"ohere Ordnungen der St"orungstheorie eine Rolle spielen k"onnten. Zudem
war die urspr"ungliche, von \textsc{Fermi} entwickelte Theorie der
schwachen Wechselwirkung nicht renormierbar.  Auf die starke
Wechselwirkung, welche zum Beispiel die Nukleonen zusammenh"alt, schien
dagegen wegen ihrer St"arke die St"orungstheorie nicht anwendbar.

Im Jahre 1972 wurde von \textsc{G. 't Hooft} bewiesen, dass spontan
gebrochene Eichtheorien, wie sie zur Beschreibung der schwachen
Wechselwirkung gebraucht werden, renormierbar sind.  Ab dieser Zeit
wuchs das Interesse an den so-genannten
Yang-Mills-Theorien. W"ahrend die $QED$ eine Eichtheorie mit
Abelscher Eichgruppe $U(1)$ ist, sind die
Yang-Mills-Theorien Eichtheorien mit nicht-Abelschen
Eichgruppen. F"ur die Kraft zwischen schwach wechselwirkenden Teilchen
sorgen $80$ GeV schwere $W$- und $Z$-Bosonen, "ahnlich wie elektrisch
geladene Teilchen "uber den Photonenaustausch wechselwirken. Die Theorie
der elektroschwachen Wechselwirkung, also der vereinheitlichten
elektromagnetischen und schwachen Wechselwirkungen, wurde von
\textsc{Glashow, Weinberg} und
\textsc{Salam}\ \cite{glashow61} entwickelt.  Ist die Energie der
Teilchen sehr viel kleiner als die Masse der Eichbosonen, so geht das
renormierbare Weinberg-Salam-Modell in die effektive und
nicht-renormierbare Theorie von \textsc{Fermi} "uber.  1973 zeigte sich,
dass die der starken Wechselwirkung zugrundeliegende
Quantenchromodynamik (QCD) - die Eichtheorie f"ur Quarks und Gluonen -
asymptotisch frei ist, so dass bei sehr hohen Energien oder sehr kleinen
Distanzen die Kopplung schw"acher wird und die St"orungstheorie angewandt
werden darf. In den fr"uhen 1990ern waren bereits die meisten
zweite-Ordnung Korrekturen zu den wichtigen QCD-Prozessen berechnet.  In
allen Bereichen in denen die St"orungstheorien anwendbar sind stimmen
theoretische und experimentelle Resultate "uberein. Gerade im
elektroschwachen Sektor ist diese �bereinstimmung hervorragend.

Ein tieferes, nicht auf der St"orungsentwicklung fu"sendes, Verst"andnis
der Renormierung wurde mit Hilfe der Euklidschen
Funktionalintegralformulierung von Quantenfeldtheorien erreicht.  Diese
ist die Euklidische Version des Feynmanschen
Pfadintegrals
\cite{dirac33,feynman48}. Dabei wird die Zeitvariable zu imagin"aren Werten
fortgesetzt \cite{dyson49}.
Euklidsche Funktionalintegrale liefern die Verbindung zwischen
Quantenfeldtheorie und statistischer Mechanik. Diese Beziehung war in
der Vergangenheit sehr fruchtbar f"ur die QFT und f"ur die statistische
Mechanik. In den 70er Jahren wurden Gitterfeldtheorien und insbesondere
Gittereichtheorien zunehmend zu einem wesentlichen Bereich der
theoretischen Hochenergiephysik.  Nach Vorarbeiten von \textsc{Wegner}
\cite{wegner71} formulierte \textsc{Wilson} 1974 eine Gittereichtheorie,
deren Kontinuumslimes einer
Euklidschen Version der Quantenchromodynamik entspricht
\cite{wilson74}.

1979 begannen \textsc{Creutz, Jacobs} und \textsc{Rebbi} mit
Monte-Carlo-Simulationen verschiedener Eichtheorien und untersuchten das
Confinement in Theorien ohne Materie \cite{creutz79}. Innerhalb 
weniger Jahre etablierten sich  numerische Methoden
und heute sind Monte-Carlo-Simulationen des
Standardmodells neben der St"orungstheorie zu einem
der wichtigsten Hilfsmittel der Hochenergiephysik
geworden. Die Gitterformulierung von Quantenfeldtheorien
ist nicht-st"orungstheoretisch und erlaubt
einen komplement"aren Zugang zu vielen Observablen,
die oft st"orungstheoretisch nicht direkt zug"anglich sind.

\section{Literaturempfehlungen:}
C. Itzykson und J.B. Zuber, \emph{Quantum Field
Theory}, Dover Publications Inc, 2006.\\
%P. Becher, M. B"ohm und H. Joos, \emph{Eichtheorien},
%Teubner Taschenb"ucher, 1981;
M. B"ohm, A. Denner und H. Joos, \emph{Gauge Theories
of the Strong and Electroweak Interaction},
Teubner, 2001.\\
J. Glimm und A. Jaffe, \emph{Quantum Physics -
A Functional Integral Point of View},
Springer, 1981.\\
G. Roepstorff, \emph{Path Integral Approach
to Quantum Physics: An Introduction},
Springer, 1996.\\
L. Schulman, \emph{Techniques and Applications of Path Integration}, 
John Wiley \& Sons, New York, 1981\\
M. Creutz, \emph{Quarks , Gluons and Lattices},
Cambridge University Press, 1983.\\
Istvan Montvay und Gernot M"unster, \emph{Quantum
Fields on a Lattice}, Cambridge University Press, 1997.\\
H.J. Rothe, \emph{Lattice Gauge Theories - An Introduction},
World Scientific Publishing, 2005.\\
Jan Smit, \emph{Introduction to Quantum Fields on
the Lattice}, Lecture notes in physics, Cambridge
University Press, 2002\\
R.J. Baxter, \emph{Exactly Solved Models in
Statistical Mechanics}, Academic Press, 1982.

